La mecánica clásica es una de las bases de la física .Los ladrillos de esta fundación se establecieron por primera vez por Galileo luego por Newton y, finalmente, por los aportes de D'Alembert, Hamilton, Lagrange, Poisson y Jacobi en los siglos 18 y 19. El resultado fue un marco de leyes físicas y formalismos para prácticamente cualquier problema que se desea estudiar en mecánica de fluidos [ver aquí], electromagnetismo [ver aquí], la mecánica estadística [ver aquí], e incluso la teoría cuántica, para dar sólo algunos ejemplos. Una formulación importante y generalizada de la mecánica clásica es debida a Hamilton, quien mostró que un sistema físico evoluciona ya sea a un minimo o un máximo de una cantidad llamada la acción que, holgadamente hablando, es la acumulación en el tiempo de la diferencia entre las energías cinética y potencial [ ver aquí]. Este importante resultado, llamado principio variacional de Hamilton de acción estacionaria o principio de Hamilton, para abreviar, es la principal manera de obtener las ecuaciones de movimiento para muchos sistemas, desde el omnipresente oscilador armónico simple a las teorías de cuerdas supersimétricas. Por desgracia, el principio de Hamilton tiene una deficiencia conocida: de forma genérica no puede dar cuenta de los efectos irreversibles de la pérdida de energía que están siempre presentes en cualquier aplicación del mundo real. Pero ¿por qué es eso? La respuesta tiene que ver con la misma formulación del principio de Hamilton: "La configuración física de un sistema es el que se desarrolla a partir de un estado A dado en el momento inicial hacia el estado dado B en el momento final, de tal manera que la acción es estacionaria. "Esto plantea la pregunta: ¿cómo se puede conocer el estado final, especialmente cuando el sistema está perdiendo energía? ¿No es el punto determinar el estado final de las condiciones iniciales? Así es como funciona el mundo real después de todo, a través de causa, y efectos. Cabe destacar que,el responder a estas preguntas correctamente conduce a una forma natural de describir los sistemas genéricos con un principio variacional, incluso en aquellos que no conservan la energía [ver aquí]. Las preguntas anteriores se dirigen generalmente, en todo caso, al uso de un razonamiento un tanto circular como sigue. En la práctica, uno aplica el principio de Hamilton para derivar ecuaciones de movimiento que luego son resueltas con los datos iniciales. El estado final fijado utilizando el principio de Hamilton se argumenta entonces, como asociado con esa solución específica. Sin embargo, ese estado final específico sólo se determina después de aplicar el principio de Hamilton para obtener las ecuaciones de movimiento en primer lugar. Tal vez esta es una explicación aceptable, pero no parece totalmente satisfactoria porque por lo general no tenemos acceso al medio ambiente en que un sistema pierde energía por lo que no podemos ajustar libremente los estados finales de los grados de libertad inaccesibles para dar cabida a la explicación anterior. Por estas y otras razones, es importante generalizar el principio variacional de Hamilton de una manera que no requiere la fijación del estado final del sistema, pero se determina en su lugar de sólo el estado inicial. Los detalles de cómo se logra esto se presentan [aquí]. El resultado que nos deja es que la eliminación de la dependencia del estado final requiere una duplicación formal de los grados de libertad en el problema. Esta variables duplicadas son ficticias pero sus valores medios son de interés físico, mientras que su diferencia no contribuye a la evolución física del sistema.
figura.1 ,a la izquierda de la imágen se muestra el principio de Hamilton clásico donde las lineas puntuadas denotan los desplazamientos virtuales y la linea sólida indica el camino estacionario a la derecha se muestra un dibujo del principio de Hamilton compatible con las condiciones iniciales(el estado final no es fijado).En ambos dibujos las flechas sobre los caminos señalan la dirección de integración para la integral de linea del Lagrangiano.Crédito.2physics.
La figura 1 muestra un esquema del principio habitual de Hamilton a la izquierda y del principio de Hamilton generalizado a la derecha para dar cabida a las pérdidas de energía (o ganancias). Las flechas en la Figura 1 indican la dirección en el tiempo al integrar el Lagrangiano del sistema a lo largo de ese camino. Al duplicarse las variables de esta manera se tiene una interesante consecuencia natural. Al igual que el potencial V en la mecánica clásica es una función arbitraria de los sistemas conservativos, ahora tenemos la libertad de introducir una función arbitraria adicional K, que une a las variables duplicadas. En muchas maneras K es análoga a V en la mecánica clásica porque K genera las fuerzas e interacciones que dan cuenta de la pérdida de energía o ganancia de una manera similar que V genera fuerzas e interacciones que conservan la energía. Para resumir, el problema aparentemente inocuo que especifica el estado final en el principio de Hamilton conduce a una generalización basada únicamente en el estado inicial. Lograr esto requiere duplicar formalmente los grados de libertad que, a su vez, permite la introducción de una función arbitraria adicional K que genéricamente da cuenta por las fuerzas dinámicas y las interacciones que causan la pérdida o ganancia de energía en el sistema. Este nuevo principio de variacional puede tener una amplia aplicabilidad en una amplia gama de problemas prácticos y teóricos a través de múltiples disciplinas
artículo del físico Chad Galley para 2physics.com.
fuente de la información:
http://www.2physics.com/2013/05/losing-energy-with-hamiltons-principle.html#links
