El físico italiano Ettore Majorana, quien desapareció en 1938, es ampliamente reconocido por haber inventado la noción de una partícula fermiónica, el fermión de Majorana, el cual tiene la extraña propiedad de ser su propia antipartícula [ ver aquí ]. Lo que quizás es menos conocido es que también desarrolló una representación natural y exacta de un espín cuántico [ver aquí], lo que inspiró a Julian Schwinger para crear la representación bosónica de uso frecuente hoy en día en el estudio teórico de los sistemas de spin cuánticos [ ver aquí ].
En la representación de Majorana, un estado de spín en general corresponde a una configuración de puntos sobre una esfera, una imagen que hace que un espacio de Hilbert de alta dimensión sea más fácil de comprender. En Physical Review Letters, Patrick Bruno del European Synchrotron Radiation Facility en Grenoble, Francia, ha reavivado esta representación mediante el desarrollo de un método intuitivo y sistemático para el cálculo de las propiedades físicas del estado de spín, tales como su energía, y siguiendo la evolución del spin en el tiempo [ ver aquí ]. El enfoque intuitivo de Bruno tiene el potencial para guiar nuestra comprensión de los sistemas cuánticos con varios componentes, que son vastos y complejos, como lo existentes en ingeniería cuántica e información cuántica.
Para el caso elemental de un spin ½ O cualquier sistema cuántico de dos
niveles, Felix Bloch estableció [ ver aquí ] que un estado puro arbitrario puede ser representado por un punto sobre una esfera unidad. En esta imagen (ver Fig. 1, izquierda), un estado de spin-hacia arriba corresponde al polo norte y un estado de espín hacia abajo corresponde al polo sur. Una superposición de estos dos estados corresponde a un punto sobre la esfera definido por el vector unidad n. La razón es geométrica: además de un factor de normalización no esencial y una fase general, un estado de superposición se especifica por la amplitud relativa y la fase de sus dos componentes, y estos dos parámetros se pueden asignar a las coordenadas esféricas θ, Φ, Que especifican la dirección de n. El punto en n también se podría ver como un autoestado con autovalor +1/2 para un spin orientado a lo largo de n. Para este simple caso de spin-1/2 , la estrella de Majorana se define como el punto único en la esfera en la dirección opuesta a n.
figura 1 a la izquierda en un spin-1/2 u otro sistema de dos niveles,cualquier estado puede ser construido a partir de una superposición de un spin hacia arriba y un spin hacia abajo (flechas azules).Esta superposición corresponde a un punto sobre una esfera unidad definido por el vector n.A la derecha de la imágen se observa una proyección planar del hemisferio norte de una representación esférica de estrellas de Majorana para un spin J=25.La región nubosa representa la distribución de probabilidades para la función de onda del spin.En la imágen de Bruno esta distribución de probabilidades es análoga a la densidad de un gas clásico que es repelido desde las estrellas de Majorana.Crédito.APS/Carin Cain; (Right) Courtesy P. Bruno/ESRF.
Sin embargo, un estado spin-J con J>1/2, en general, no corresponden a un estado propio del vector de spin en cualquier dirección. Además de una fase general, se necesitan 2J números complejos para especificar un estado, y estos números no pueden ser representados por un solo punto sobre una esfera. Autoestados con autovalores +J para el componente del spin en cada dirección, lo cuales son llamados
estados coherentes de spin, constituyen sólo un pequeño subconjunto de todos los posibles estados cuánticos. Sin embargo, uno puede representar un estado cuántico en general como una superposición lineal de los estados coherentes de spin-. El coeficiente de superposición, dado por el producto escalar del estado general con un estado coherente, es entonces una función de onda compleja de n. En términos generales, esta función de onda compleja representa la amplitud de probabilidad de encontrar el spin en esa dirección.
La visión de Majorana fue que esta función de onda tiene 2J puntos, o "vórtices"-sobre la esfera de Bloch, donde la función de onda se desvanece. Aparte de un factor de fase global y normalización, la función de onda está completamente especificada por las posiciones de estos vórtices. En concreto, el estado de espín tiene cero coincidencia con el estado de espín coherente a lo largo de las direcciones de los vórtices. En su nuevo trabajo, Bruno llama a estos vórtices las estrellas de Majorana. En esta imagen, el estado propio del momento angular de espín m a lo largo de la dirección n corresponde a
m estrellas coincidiendo en n con el restante 2J . Configuraciones especiales que no sean esta distribución "antípodal" dan todos los demás estados de spín cuántico en el vasto espacio de Hilbert.
Bruno ha encontrado un método sistemático de utilizar reglas esquemáticas para calcular las cantidades físicas, tales como la energía, en términos de las posiciones de estrella Majorana. El truco está en hacer una conexión entre la distribución de probabilidad de la función de onda de spin sobre la esfera de Bloch y la densidad de un gas clásico de partículas independientes (Fig. 1, derecha). Usando esta analogía, el cálculo de la función de onda de spin es equivalente a calcular la distribución del "gas" en el equilibrio térmico, suponiendo que es repelido de la estrellas Majorana por un potencial que varía logarítmicamente con la distancia. Además, Bruno ha encontrado que existe también un campo magnético artificial en la dirección radial que tiene una intensidad dada por la densidad del gas, como si cada partícula de gas lleva una unidad cuántica de flujo magnético. Junto con la energía de spin , este campo magnético artificial dota a las estrellas de Majorana con una dinámica clásica que refleja exactamente la evolución del espín cuántico que se rige por la ecuación de Schrödinger.
Como muestra Bruno,las estrellas Majorana son similares a vórtices en otros sistemas, tales como un superfluido de dos dimensiones o un gas de electrones en un estado Hall cuántico. Estos vórtices tienen una vida propia, y sienten un campo magnético artificial, proporcional a la densidad de las partículas. Hay una explicación sencilla de este fenómeno común. Cuando una partícula se mueve alrededor de un vórtice una vez, la función de onda cuántica acumula una fase de 2π. En otras palabras, la partícula siente un flujo parecido al Aharonov-Bohm en la posición de vórtice. Puesto que "moverse alrededor" es relativo, uno puede mirar esto desde la perspectiva del vórtice y decir que el siente el mismo flujo de la partícula. Esto es confirmado, efectivamente, en el presente caso por un cálculo directo de la fase geométrica para el movimiento cíclico de los vórtices [ ver aquí ].
La dinámica de las estrellas de Majorana difiere, pero está estrechamente relacionada con la forma canónica de la dinámica de Hamilton, que se imparten en la mecánica clásica. Un espacio de fase clásico es extendido por un conjunto de coordenadas generalizadas y sus momentos conjugados, con velocidades y fuerzas, simplemente dadas por los gradientes de la función de Hamilton. En el caso del spín cuántico, el espacio de fase se define por las coordenadas de las 2J estrellas de Majorana sobre la esfera de Bloch, pero la dinámica es, en general, no canónica.
Si se hubiera elegido una base ortogonal, tal como los 2J + 1 autoestados de la
componente del espín a lo largo de un eje fijo, la ecuación de Schrödinger implicaría una dinámica canónica, con las probabilidades y las fases jugando el papel de los momentos canónicos y las coordenadas [ ver aquí ]. La estructura canónica sigue siendo cierta incluso para las probabilidades relativas y fases después de la separación de la probabilidad total (que se normaliza siempre de todos modos) y una no esencial fase general [ ver aquí]. Estas variables canónicas puede ser directamente relacionada con las estrellas Majorana, pero la relación no necesariamente forma una transformación canónica, haciendo la dinámica de la última no canónica.
La representación de Majorana y el nuevo desarrollo de Bruno puede llegar a ser muy útil en sistemas tales como imanes moleculares [ver aquí] o qubits multinivel [ ver aquí ]. Gran parte de nuestra intuición en el pasado se derivó de una imagen semiclásica, con las estrellas agrupadas y moviéndose de acuerdo a la ecuación de Landau-Lifshitz. Ahora podemos visualizar el espacio cuántico con todo detalle y con facilidad dejando que las estrellas se diseminen y deambulen en la esfera de Bloch.
artículo del físico Qian Niu para Physics.aps.
fuente de la información:
http://physics.aps.org/articles/v5/65
